Mathematik in der Altstadt? Mit einer digitalen Stadtrallye Freiburg neu erleben!

01.09.2022 Uhr

Mathematik in der Altstadt? Mit einer digitalen Stadtrallye Freiburg neu erleben!

Mathematik bei sommerlichen Temperaturen in der Freiburger Altstadt entdecken? Smartphones raus und los geht die Tour! Herr Dr. Bronner berichtet!

Die Vorbereitung dazu ist denkbar einfach:

  • Die kostenlose App MathCityMap (Android, iOS) auf dem Smartphone installieren
  • In der App einen der zehn neuen Freiburger Mathe-Trails herunterladen
  • Zollstock und Taschenrechner einpacken
  • Durch die Altstadt flanieren, spannende Mathe-Aufgaben lösen & Punkte sammeln...

Neben der mathematischen Herausforderung enthält jede Aufgabe touristische Informationen zu Freiburger Sehenswürdigkeiten rund um das jeweilige Messobjekt. Damit die Motivation beim Lösen der jeweiligen Mathe-Challenge nicht verloren geht kann jederzeit ohne Punkteabzug auf zwei Lösungshinweise zurückgriffen werden. Nach dem Abschluss der Aufgabe steht eine vollständige Musterlösung zur Verfügung. 

Im Rahmen der Projektarbeit MathCityMap der Klasse 9a des Friedrich-Gymnasiums Freiburg entstanden 53 digitale Mathe-Aufgaben an real existierenden Objekten in der Freiburger Innenstadt, die zu zehn Mathe-Trails (Bild 1, Übersicht 1) verknüpft wurden. Das Schüler*innen-Projekt fand in Kooperation mit Prof. Dr. Matthias Ludwig vom Institut für Didaktik der Mathematik der Goethe-Universität Frankfurt statt. Alle erstellten Schüler*innen-Aufgaben und -Trails durchliefen vor der Veröffentlichung einen Experten-Review-Prozess durch das MathCityMap-Team der Goethe-Universität Frankfurt.

Die für das Unterrichtsprojekt am Friedrich-Gymnasium konzipierten Arbeitsblätter und Erklärvideos sowie die zehn erarbeiteten Freiburg-Trails stehen über das Projekt-Board bit.ly/3zqFMpM zur freien Nutzung zur Verfügung (Creative Common Lizenz). Schulen können das Material beliebig anpassen, die 54 Aufgaben zu neuen Mathe-Trails kombinieren oder selbst mit Schüler*innen weitere digitale Mathe-Challenges in und um Freiburg erstellen.

Bild 1: Mathe-Trail „Entdecke Freiburgs Innenstadt“, erstellt von Laura und Laila, Klasse 9a
Bild 1: Mathe-Trail „Entdecke Freiburgs Innenstadt“, erstellt von Laura und Laila, Klasse 9a

1. Unterrichtsverlauf der Projektarbeit

 
 
Bild 2: Expertenvortrag per Videokonferenz im Klassenzimmer

1.1 Expertenvortrag per Videokonferenz

Am 27.6.2022 wurden die Schüler*innen der Klasse 9a durch einen Expertenvortrags per Videokonferenz durch Simon Barlovits (Goethe-Universität Frankfurt) in das Thema der mathematischen Wanderpfade eingeführt (Bild 2). Das Ziel des Unterrichtsprojektes war die eigenständige Erstellung von digitalen Wanderpfaden in Partnerarbeit. Die Qualität der Mathe-Trails sollte so gut sein, dass möglichst viele Aufgaben am Ende den Experten-Review-Prozess der Goethe-Universität Frankfurt bestehen und weltweit veröffentlicht werden. Zur Orientierung bezüglich der Anforderungen stand den Schüler*innen ein genauer Arbeitsauftrag mit einem ausführlichen Erwartungshorizont zur Verfügung (siehe Projekt-Board). Die im Projekt entstandenen Mathe-Trails gingen in die Notengebung des Faches Mathematik ein und zählten dabei genau so viel wie eine schriftliche Klassenarbeit.

1.2 Auf Entdeckungsreise in der Innenstadt: Erstellung von Aufgaben

Nach dem Einführungsvortrag fand der Mathematikunterricht in den folgenden zwei Doppelstunden in Freiarbeit in der Freiburger Innenstadt statt. Die Lernenden mussten dabei in Partnerarbeit geeignete Aufgaben finden, diese in ein mathematisches Modell übertragen, Messwerte (Länge, Anzahl, Winkel, …) aufnehmen, eigene Fotos des Objekts aufnehmen und erste Lösungen berechnen.

Die Erstellung der digitalen Aufgaben und die Verknüpfung zu Mathe-Trails erfolgte über zwei weitere Doppelstunden in der Schule in Freiarbeit. Dazu erhielt jede Zweiergruppe ein pseudonymes Benutzerkonto zum Login ins DSGVO konforme MathCityMap Webportal.

1.3 Peer-Feedback: Optimierung der Mathe-Trails

Nach der Erstellung der Trails erfolgte eine weitere Doppelstunde in der Freiburger Innenstadt. Hier sollten die Partnergruppen die Trails gegenseitig erproben und sich über ein analoges Formular Rückmeldung zur Verbesserung der Aufgabenstellung, der Hinweise, der Musterlösung und der touristischen Hinweise geben. Neben der verbalen Rückmeldung sollten sich die Gruppen auch gegenseitig Noten für die einzelnen Anforderungen im Erwartungshorizont geben.

Für die Einarbeitung des Peer-Feedbacks stand eine weitere Doppelstunde zur Verfügung. Zur Abgabe des Lernprodukts stand ein Bewertungsformular (siehe Projekt-Board) mit einer Reflexion der Projektarbeit und der notenmäßigen Selbsteinschätzung zur Verfügung. Die besten Mathe-Trails und Aufgaben wurden schließlich durch den Lehrer für den Experten-Review Prozess der Goethe-Universität Frankfurt eingereicht.

1.4 Experten-Review-Prozess

Beim Experten-Review durch die Goethe-Universität Frankfurt wurde zunächst über die Hälfte der eingereichten Schüler*innen-Aufgaben aufgrund der gewählten Lösungsintervalle abgelehnt (Bild 3). Bei einer erneuten Durchführung des Projektes wird deshalb die exakte Berechnung der Lösungsintervalle in mit der App Numbers am Tablet sowie die Anzeige des Bildes der berechneten Tabelle in der Musterlösung für alle Lernenden verpflichtend sein. Nach der Korrektur der fehlerhaften Lösungsintervalle konnten die zunächst abgelehnten Aufgaben erneut beim Review eingereicht werden und bestanden in den meisten Fällen die Prüfung durch die Experten.

Andere Schüler*innen-Aufgaben wurden beim Experten-Review abgelehnt, da die Musterlösung mathematische Fehler enthielt, die Aufgabe nicht logisch erschien oder mit einer unmittelbaren Gefahr (Messung an der Bahnsteigkante von Gleis 1 am Freiburger Hauptbahnhof) verbunden war.

Neben jeder einzelnen Aufgabe musste auch jeder neu konzipierte Trail zum Experten-Review eingereicht werden. Die zunächst abgelehnten Trails waren von der Wegführung zu lang oder enthielten zu viele Aufgaben. Auch hier konnte nach einer Verbesserung der Routenführung und der Reduzierung von Aufgaben ein neues Experten-Review beantragt werden.

 
 
Bild 3: Experten-Review-Prozess einer Aufgabe.
Bild 3: Experten-Review-Prozess einer Aufgabe.
 
 

 
 

2. Eingesetzte digitale Werkzeuge

 
 

Um für das MathCityMap Webportal qualitativ hochwertige Aufgaben, Lösungshinweise und Musterlösungen zu erstellen, sollten sich die Lernenden vor der Erstellung der Aufgaben mit drei digitalen Tools zur Berechnung von Lösungsintervallen (App Numbers), zum Editieren von Formeln (LaTeX) und zum Zeichnen von Skizzen (App GoodNotes & GeoGebra) befassen.

Bild 4: Einsatz der App Numbers an Schüler- Tablets zur Berechnung des Lösungsintervalls
Bild 4: Einsatz der App Numbers an Schüler-
Tablets zur Berechnung des Lösungsintervalls

2.1 App Numbers zur Berechnung von Lösungsintervallen

 Bei der wiederholten Messung von z. B. der Länge einer 2,50 m langen Bank im Stadtgarten mit einem 2 m langen Zollstock fällt auf, dass die Messungen in der Genauigkeit variieren können: Die gemessenen Längen l liegen je nach Messmethode im Bereich von l = 2,48 m bis zu l = 2,52 m. Insbesondere bei unregelmäßig geformten oder sehr großen Objekten sind größere Messabweichungen zu erwarten. In realen Situationen gibt es beim Messen nie eine exakte Lösung. In der App MathCityMap ist es deshalb erforderlich zu jeder Messung einer selbst ausgedachten Aufgabe auch ein Lösungsintervall mit guten Ergebnissen (grüner Bereich), akzeptablen Ergebnissen (gelber Bereich) und ungenügenden Ergebnissen (roter Bereich) anzugeben.

Für die Schüler*innen bedeuten die verschiedenen Lösungsintervalle, dass jede Aufgabe fünfmal berechnet werden muss: Ein exakter Rechenwert, zwei Werte für das Ende des grünen Bereichs und zwei Werte für das Ende des gelben Bereichs. Einige Gruppen nutzen zur schnellen Berechnung der fünf Lösungen die App Numbers (Tabellenkalkulation) am Tablet (Bild 4).

Zum Einsatz der App Numbers für die Berechnung von  Lösungsintervallen entstand ein eigenes Erklärvideo: https://youtu.be/trj3iRNNaQY

MathCityMap 
MathCityMap

2.2 LaTeX für ein professionelles Formel-Layout

Neben der Angabe des Lösungsintervalls ist es in MathCityMap erforderlich zu jeder Aufgabe Lösungshinweise in Form von zwei bis drei gestuften Hinweisen anzugeben sowie eine ausführliche Musterlösung zu erstellen. Dabei kam durch die Schüler*innen im Unterricht sofort die Frage auf, wie komplizierte mathematische Formeln in ein normales Textfeld eingebunden werden können.

Für das professionelle Formel-Layout bietet das Webportal von MathCityMap die optionale Möglichkeit der Eingabe von LaTeX-Codes. An Hochschulen ist LaTeX im Bereich der Mathematik und den Naturwissenschaften eine Standardanwendung für die Erstellung von wissenschaftlichen Arbeiten. LaTeX begegnet den Schüler*innen aber auch bei schulischen Anwendungen: So müssen innerhalb der Präsentations-App Keynote z. B. für eine Referat alle mathematischen Formeln mit dem zugehörigen LaTeX-Code eingegeben werden. Von daher kann eine Einführung in einfache LaTeX Befehle im Mathematikunterricht der 9. Klasse nicht schaden.

Zur einfachen Erstellung des LaTeX-Codes ohne Programmierkenntnisse stand den Schüler*innen das Web-Portal bzw. die App MyScript-Math webdemo.myscript.com zur Verfügung. Bei MyScript-Math werden aus der handschriftlichen Eingabe einer Formel digitale Formel-Formate erzeugt. Neben der Ausgabe der Formel als Bild wird u. a. auch der zugehörige LaTeX-Code in Textform ausgegeben. Dieser Code kann kopiert und in die Textfelder des Webportals MathCityMap zwischen zwei $-Zeichen eingefügt werden (Bild 5). Mit der gleichen Methode kann der LaTeX-Code auch in das Gleichungs-Formular der App Keynote kopiert werden.

Zum Einsatz von LaTeX-Codes in der App Keynote und im Webportal MathCityMap entstand ein eigenes Erklärvideos: https://youtu.be/9srs8SMq6RE

2.3 App GoodNotes und App GeoGebra für digitale Skizzen

Bei den gestuften Hinweisen gibt es bei MathCityMap die Möglichkeit, statt eines Textes eine Skizze als Bild einzufügen. Den Schüler*innen standen für mathematische Skizzen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: In das Titel-Foto der Aufgabe innerhalb der App GoodNotes mit dem Apple-Pencil mathematische Skizzen hinzufügen (Bild 6) oder 2D- bzw. 3D-Skizzen mit der App GeoGebra Geometrie bzw. GeoGebra 3D Rechner erstellen (Bild 7). Beide GeoGebra - Apps wurden im Mathematikunterricht bereits eingeführt und mehrfach genutzt.

Bild 6: Lösungshinweis mit einer Skizze - erstellt mit der App GoodNotes
Bild 6: Lösungshinweis mit einer Skizze - erstellt mit der App GoodNotes
Bild 7: Lösungshinweis mit einer Skizze - erstellt mit der App GeoGebra 3D Rechner
Bild 7: Lösungshinweis mit einer Skizze - erstellt mit der App GeoGebra 3D Rechner
 
 
 

 
 

3. Didaktische Hinweise

3.1 Projektmethode und prozessbezogene Kompetenzen

Mit einer kreativen offenen Aufgabenstellung wie der eigenständigen Erstellung eines Mathe-Trails im Rahmen einer Projektarbeit werden die Schüler*innen zu Produzenten ihres eigenen Wissens. Durch den authentischen und realitätsbezogenen Kontext wird Mathematik im Alltag erlebbar. Digitale Medien können hierbei durch die einfache Erstellung von professionellen multimedialen Produkten wie einem Mathe-Trail innerhalb einer App (Bild 8) Lernprozesse fördern. Im Rahmen der Projektmethode erleben die Lernenden im Team einen hohen Grad an Handlungsorientierung, Selbstwirksamkeit, sozialer Eingebundenheit und Autonomie. Die Verbindung von digitalen Medien mit offenen Aufgaben leistet gleichzeitig einen wichtigen Beitrag zur (Selbst-) Differenzierung und fördert prozessbezogene Kompetenzen.

3.2 Unterrichtsszenarien für eine schülerorientierte Mathe-Trail Erstellung

Für die schülerorientierte Erstellung von Mathe-Trails gibt es verschiedene Unterrichtszenarien. Diese können je nach Anspruch in zeitlich begrenzter Form oder als mehrwöchige Projektarbeit durchgeführt werden. Sinnvoll ist es zur Vorbereitung der Lernenden auf die Arbeits- und Berufswelt 4.0 die Erstellung von Mathe-Trails mit innovativen Methoden aus dem Projektmanagement wie der Nutzung von KanBan-Boards oder der Methode eduScrum zur verknüpfen. Im Folgenden werden drei Unterrichtszenarien entsprechend der Sozialform unterschieden:

1) Einzelarbeit: Jeder Lernende der Klasse erstellt eine einzelne MathCityMap Aufgabe im gemeinsamen Klassen-Account. Das Peer-Feedback erfolgt durch die Aufteilung der Klasse in Dreiergruppen. Aus dem entstandenen Aufgabenpool werden innerhalb der Dreiergruppe Mathe-Trails zu bestimmten mathematischen Niveaus oder Themen zusammengestellt.

2) Partnerarbeit (siehe Bericht): Die Lernenden werden in Zweierteams aufgeteilt und erhalten einen MathCityMap Partner-Account. Jede Gruppe erstellt sechs Aufgaben und daraus einem eigenen Trail. Das Peer-Feedback erfolgt durch ein anderes Team. Das entstandene Lernprodukt wird mit Hilfe eines Erwartungshorizontes durch den Lehrer benotet.

3) Gruppenarbeit: Die gesamte Klasse wird in vier Gruppen zu je 6-8 Schüler*innen aufgeteilt. Jede Gruppe im eigenen MathCityMap Gruppen-Account einen Mathe-Trail mit 6-8 Aufgaben. Die Gruppen organisieren die Arbeitsaufteilung, den Zeitplan und das Peer-Feedback eigenständig mit Hilfe eines KanBan-Boards oder mit der Methode eduScrum.

3.3 Anlegen von pseudonymen Schüler*innen-Accounts

Zur Vorbereitung des Projekts mussten durch den Lehrer 15 pseudonyme Schüler-Accounts mit Hilfe von eigens dafür erstellten Schul-Mail-Adressen händisch angelegt und verwaltet werden. Um das Erstellen von Aufgaben durch Schüler*innen zu erleichtern, wird das MathCityMap-Team bis Ende des Jahres 2022 die Option der „Schüler*innen-Accounts“ in das System integrieren: Diese ermöglicht es der Lehrkraft, Schüler*innen-Accounts mit individuellen Berechtigungen ohne Registrierungsprozess auf Seiten der Lernenden zu erstellen.

Bild 8: Ansicht einer Schüler*innen Aufgabe in der App MathCityMap
Bild 8: Ansicht einer Schüler*innen Aufgabe in der App MathCityMap

4. Fazit

Trotz des knappen Projektzeitraums kurz vor den Sommerferien (Juli 2022) haben zahlreiche Partnergruppen der Klasse 9a exzellente Ergebnisse erreicht (Übersicht 1). Motivierend war für die Schüler*innen beim MathCityMap Projekt vor allem der Alltagskontext, der intensive Umgang mit digitalen Medien sowie die Erweiterung und der ständige Wechsel des Lernraums vom Klassenzimmer zur Innenstadt. Die Erfahrungen während der vierwöchigen Projektlaufzeit in der Schulpraxis werden nun mit dem MathCityMap Team reflektiert, das erstellte Material verbessert und in didaktischen Fachzeitschriften veröffentlicht.

Das Friedrich-Gymnasium Freiburg bedankt sich ganz herzlich beim MathCityMap-Team unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. Matthias Ludwig der Goethe-Universität Frankfurt für die zeitlich intensive Kooperation, die schnelle Hilfe bei technischen Herausforderungen und die fachliche Begleitung des Unterrichtsprojektes.

 
 

 
 

Literatur:

· Ludwig, M., Baumann-Wehner, M., Gurjanow, I., Jablonski, S. (2019).
Mathe draußen: MathCityMap. Mit Aufgaben-Wizard und Digitalem Klassenzimmer zum mobilen MathTrail. Zeitschrift mathematik lehren, 215, S. 29-32.

· Ludwig, M., Barlovits, S. & Schubert. M. (2022).
Der Aufbau von Größenvorstellungen durch Längen- und Höhenmessungen mit MathCityMap. Fördermagazin Sekundarstufe, 01, S. 12-16.

· Bronner, P. (2022).
Digitaler Unterricht? Erfolgreich unterrichten mit einer neuen Lern- und Prüfungskultur! Zeitschrift schule digital, 1-22, S. 32-38. ePaper: https://bit.ly/3z61IrS

Autor: Dr. Patrick Bronner

 
 

 
 

Übersicht 1: Veröffentlichte Mathe-Trails in Freiburgs Innenstadt

Die folgenden zehn Mathe-Trails von Schüler*innen des Friedrich-Gymnasiums Freiburg haben den Experten-Review-Prozess der Goethe-Universität Frankfurt erfolgreich durchlaufen und stehen seit dem 05.08.2022 zur weltweiten Nutzung öffentlich zur Verfügung:

1)      Titel des Trails:                Entdecke Freiburgs Innenstadt
Autoren Aufgaben:        Laura und Laila, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/4910974

2)      Titel des Trails:                Freiburgs Innenstadt mit allen Sinnen erleben!
Autoren Aufgaben:        Hannah & Flora, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/2511013

3)      Titel des Trails:                Eine Stadtführung durch Freiburg? Natürlich mit Mathematik!
Autoren Aufgaben:        Malena, Jakob W. & Tim, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/3411059

4)      Titel des Trails:                Freiburgs Innenstadt für Mathe-NERDS
Autoren Aufgaben:        Alba und Emma, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/6711009

5)      Titel des Trails:                mATHEM-beraubend durch die Freiburger Altstadt
Autoren Aufgaben:        Jonathan & Julian S., Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/7911006

6)      Titel des Trails:                Freiburg mathematisch entdecken!
Autoren Aufgaben:        Michael & Julian W., Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/3711027

7)      Titel des Trails:                Mathe-Lehrer`s Lieblings-Trail
Autoren Aufgaben:        Schüler*innen & Lehrer, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/1711241

8)      Titel des Trails:                Freiburgs nördliche Innenstadt
Autoren Aufgaben:        Schüler*innen & Lehrer, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/7911243

9)      Titel des Trails:                Freiburgs westliche Innenstadt
Autoren Aufgaben:        Schüler*innen & Lehrer, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/1611242

10)   Titel des Trails:                Freiburgs südliche Innenstadt
Autoren Aufgaben:        Schüler*innen & Lehrer, Klasse 9a, Schuljahr 21-22
Webportal:                       
https://mathcitymap.eu/de/portal/#!/trail/3711244

 
 

 
 

Übersicht 2: Glossar zum Tool MathCityMap

Mathe-Trail: Mehrere, fußläufig entfernte Mathematikaufgaben im Freien bilden einen sogenannten Mathe-Trail. An jeder Station bearbeiten die Lernenden Mathematikaufgaben zu real existierenden Objekten. Ziel ist es, die Welt aus einer mathematischen Perspektive wahrzunehmen. Die Aufgaben des Mathe-Trails können nur vor Ort bearbeitet werden. Zudem müssen die Lernenden zur Aufgabenlösung selbst aktiv werden und vor Ort zählen oder messen.

MathCityMap: Das MathCityMap-System ist eine digitale Lernumgebung zur Erstellung, Durchführung und Evaluation von Mathe-Trails. Als Zweikomponentensystem besteht es aus einer Smartphone-App sowie einem Webportal. Die Nutzung des MathCityMap-Systems ist kosten- und werbefrei sowie DSGVO konform.

MathCityMap Webportal: Im Webportal können mathematische Aufgaben erstellt und zu Trails kombiniert werden. Hierzu steht ein Aufgabenformular bereit, welches die Erstellung anleitet und in Teilschritte zerlegt.

MathCityMap App: Die für iOS und Android verfügbare App führt die Lernenden per GPS-Navigation zunächst zum Ort der Aufgabe und zeigt die Aufgabenstellung an. Als gestufte Hilfen stehen pro Aufgabe bis zu drei optional aufrufbare Hinweise zur Verfügung, welche den Prozess der Aufgabenbearbeitung anleiten und strukturieren. Haben die Lernenden ein Ergebnis berechnet, können sie dieses in die MathCityMap-App eingeben. Die App prüft die eingegebene Lösung, sodass die Lernenden ein sofortiges Feedback zur Aufgabenbearbeitung erhalten. Anschließend kann eine Musterlösung aufgerufen werden. Einen zusätzlichen Anreiz bietet der Gamification-Ansatz: Pro Aufgabe erhalten die Lernenden in Abhängigkeit der Lösungsgüte bis zu 100 Punkte.

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